泰勒公式(Taylor's formula)
微分
微分的几何意义：在局部范围内使用线性函数近似代替非线形函数，在几何上就是在局部范围内使用切线段来近似代替曲线段，这在数学上称为非线形函数的局部线性化。这是微分学的基本思想方法之一。
微分的定义 ： 设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0+\Delta x$ 在这区间内，如果函数的增量 $$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$ 可表示为 $$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$$ 其中 A 是不依赖于$\Delta x$的常数，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$是可微的，而$A\Delta x$叫作函数$y=f(x)$在点$x_0$相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记作$d_y$,即 $$d_y=A\Delta x$$ 也就是说函数在某一点可微，那么函数在该点的值可以表示为函数在该点的微分加上比$\Delta x$高阶的无穷小，当我们使用微分来近似表示函数在该点的值时，此时的误差为高阶无穷小。
泰勒定理(Taylor's theorem)
微分是函数在一点附近的最佳线性近似。对于足够光滑的函数，如果一个多项式在a点处的前n次导数值都与函数在a点处点前n次导数值相同，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a点附近的情况。
根据泰勒定理，我们可以利用泰勒公式进行以下应该场景：
- 近似计算: 泰勒公式可用于计算复杂函数值的值，通过仅计算函数在给定点的倒数，可以利用泰勒公式构建一个多项式，该多项式在该点附近逼近原始函数的值。
- 数值优化: 在优化问题中，需要找到使目标函数最大或最小的变量取值。泰勒公式可以将目标函数近似为一个简单的多项式，进而应用优化算法来求解。
泰勒公式的推导
为什么使用多项式来表示函数：为了方便研究，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达复杂的函数。由于用多项式表达的函数，只需要对自变量进行有限次数的加、减、乘三种算术运算，就可以求出函数值，因此我们经常使用多项式来近似表达函数。
使用多项式来近似表示函数，为了提高精确度，根据微分的定义，自然想到使用更高次的多项式来逼近函数。于是，我们假设$f(x)$在$x_0$处有n阶导数，尝试找出一个关于$(x-x_0)$的n次多项式 $$p(x)=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\dots+c_n(x-x_0)^n$$ 来近似表示$f(x)$,要求使得$p(x)与f(x)$之差是当$x\rightarrow x_0$时比$(x-x_0)^n$高阶的无穷小。
我们假设$p(x)$在$x_0$处的函数值以及前n阶导数依次与$f(x_0), f^(x_0),\dots,f^{(n)}(x_0)$相等，即满足 $$p(x_0)=f(x_0),p^(x_0)=f^`(x_0),$$
$$p^{}(x_0)=f^{}(x_0),\dots,p^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)$$
对多项式p(x)分别求n阶导，然后代入上面的等式即可求出p(x)的各个系数：
给出多项式p(x)关于$(x-x_0)$的n阶导：
$ p(x)=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\dots +c_n(x-x_0)^n \ p^`(x)=c_1+2\cdot c_2(x-x_0)+\dots + n\cdot c_n(x-x_0)^{n-1} \ p^{``}(x)=2\cdot c_2+\dots+(n-1)n\cdot (x-x_0)^{n-2} \ \dots \ p^{(n)}(x)=1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot(n-2)(n-1)n \
令 x=x_0, 有 \
p(x_0)=c_0 ,p^(x_0)=c_1,p^{``}(x_0)=2\cdot c_2,\dots,p^{(n)}(x_0)=n!\cdot c_n \\ 此规律可以总结为： c_i=\frac{p^{(i)}(x_0)}{i!},i\in [0,n] \\ 于是 p(x)=p(x_0)+\frac{p^(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{p^{}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{p^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \\ 将 p(x_0)=f(x_0),p^`(x_0)=f^`(x_0),\dots,p^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)代入可得 \\ 函数f(x)在x_0处的n次泰勒多项式: \\ p(x)=f(x_0)+\frac{f^`(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$